关于一般子流形的 Ambrosetti-Malchiodi-Ni 猜想

我们研究以下半线性方程的正解：$$\varepsilon^2\Delta_{\bar g} u - V(z) u+ u^{p} =0\,\hbox{ on }\,M,$$其中 $(M, \bar g )$ 是无边紧致光滑 $n$ 维 Riemann 流形或 Euclid 空间 $\mathbb R^n$，$\varepsilon$ 是小正参数，$p>1$，且 $V$ 是一致正的光滑势函数。给定 $k=1,\dots,n-1$，且 $1 < p < \frac{n+2-k}{n-2-k}$。假设 $K$ 是 $M$ 的一个 $k$ 维光滑嵌入紧致子流形，其关于泛函 $\int_K V^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n-k}{2}}dvol$ 是驻定且非退化的，我们证明存在序列 $\varepsilon=\varepsilon_j\to 0$ 以及沿 $K$ 集中的正解 $u_\varepsilon$。该结果特别证明了 Ambrosetti-Malchiodi-Ni 猜想的有效性，推广了 Wang-Wei-Yang 近期关于余维为一情形的结果。此外，我们的方法探讨了非线性 Schrödinger 方程的解与带密度流形中 $f$-极小子流形之间的联系。