管状区域中半线性椭圆方程的解

给定嵌入在 $\mathbb {R}^m$ 中的光滑紧致 $k$ 维流形 $\Lambda$，其中 $m\geq 2$ 且 $1\leq k\leq m-1$，并给定 $\epsilon>0$，我们将 $B_\epsilon (\Lambda)$ 定义为关于 $\Lambda$ 半径为 $\epsilon$ 的测地管状邻域。在本文中，当参数 $\epsilon$ 选取得足够小时，我们在 $B_\epsilon (\Lambda)$ 中构造了半线性椭圆方程 $\Delta u + u^p = 0$ 的正解，且在 $\partial B_\epsilon (\Lambda)$ 上满足 $u = 0$。在该方程中，指数 $p$ 满足：当 $n:=m-k \leq 2$ 时 $p > 1$，或当 $n>2$ 时 $p\in (1, \frac{n+2}{n-2})$。特别地，在维数 $m\geq 3$ 时，$p$ 可以是临界的或超临界的。随着 $\epsilon$ 趋于零，我们构造的解的 Morse 指数趋于无穷大。此外，利用 Pohozaev 型论证，我们证明了我们的结果是尖锐的，即在 $n\geq 3$ 且 $\epsilon$ 足够小的情况下，对于 $p>\frac{n+2}{n-2}$ 不存在正解。