半线性椭圆边值问题中生成环与孤支解

本文依据 $d>0$ 与整数 $q\geq 4$ 的取值，确定了半线性椭圆边值问题 \begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} -d\Delta u= \lambda\langle \mathfrak{a},\nabla u\rangle+u+\lambda u^{2}-u^{q} & \text{ in } \Omega, \\ u=0 & \text{ on } \partial\Omega, \end{array}\right. \end{equation*} 中从 $u=0$ 分岔出的正解与负解集合的整体 $\lambda$-结构。图1.1-1.3根据 $d$ 与 $q$ 的值总结了本文主要发现。注意参数 $\lambda$ 在此模型中的作用非常特殊，因为除度量对流强度外，它还量化了非线性项 $\lambda u^2$ 的幅值。我们将此问题视为在反应扩散方程中生成解环与孤支解的数学玩具。