Lane-Emden 问题径向解的 Morse 指数公式

我们考虑半线性 Lane-Emden 问题：\begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{\begin{array}{lr}-\Delta u= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation} 其中 $B$ 是以原点为中心的 $\mathbb R^N$ 的单位球，$N\geq3$，且 $1<p<p_S$，$p_S=\frac{N+2}{N-2}$。我们证明，对于具有 $m$ 个节点域的 \eqref{problemAbstract} 的任意径向解 $u_p$，其 Morse 指数 $\mathsf{m}(u_p)$ 由公式 $$\mathsf{m}(u_p)=m+N(m-1)$$ 给出，若 $p$ 充分接近 $p_S$。