分数阶Dirichlet问题的Morse指数与径向对称性

本文中，我们对半线性分数阶Dirichlet问题$$(-\Delta)^su = f(u)\qquad \text{ in $\mathcal{B}$},\qquad \qquad u = 0\qquad \text{in $\quad\mathbb{R}^{N}\setminus \mathcal{B}$,}$$的径向对称变号有界弱解$u$的Morse指数给出估计，其中$s\in(0,1)$，$\mathcal{B}\subset \mathbb{R}^N$是以原点为圆心的单位球，非线性项$f$属于$C^1$类。我们证明，对$s\in(1/2,1)$，上述问题的任意径向对称变号解的Morse指数大于等于$N+1$。若$s\in (0,1/2],$在相同结论在关于$f$的附加假设下成立。特别地，我们的结果适用于算子$(-\Delta)^s$在$\mathcal{B}$中的Dirichlet特征值问题（对所有$s\in (0,1)$），并蕴含$\mathcal{B}$中对应第二Dirichlet特征值的特征函数是反对称的。这解决了Ba\~{n}uelos与Kulczycki的一个猜想。