关于奇异特征值问题及其在半线性偏微分方程解之 Morse 指数计算中的应用（第二部分）

利用前文给出的以一维奇异特征值问题刻画 Morse 指数与退化性的方法，我们对 Hénon 型问题径向解的 Morse 指数给出下界：$$\left\{\begin{array}{ll} -\Delta u = |x|^{\alpha}f(u) \qquad & \text{ in } \Omega, u= 0 & \text{ on } \partial \Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^N$ ($N\ge 2$) 中的有界径向对称域，$\alpha>0$，$f$ 为实函数。由该估计可得，此问题节点径向解的 Morse 指数当 $\alpha\to \infty$ 时趋于 $\infty$。关于实 Hénon 问题 $f(u)= |u|^{p-1}u$，我们证明了径向非退化性，表明径向 Morse 指数等于节点区域个数，并得出最小能量节点解不是径向的。