高临界指数下Lin-Ni-Takagi问题的边界子流形上的气泡现象

我们考虑方程$d^2\Delta u - u+ u^{\frac{n-k+2}{n-k-2}} =0\,\hbox{in}\Omega$，在零Neumann边界条件下，其中$\Omega$是开集、光滑且有界，$d$是一个小的正参数。我们假设$\partial\Omega$上存在一个$k$维闭的、嵌入的极小子流形$K$，它是非退化的，并且$\partial\Omega$的截面曲率的某个加权平均沿$K$为正。然后我们证明存在一个序列$d=d_j\to 0$和一个正解$u_d$，使得在测度意义下，当$d\to 0$时，$$d^2 |\nabla u_{d} |^2 \rightharpoonup S, \delta_K$$，其中$\delta_K$表示支撑在$K$上的Dirac测度，$S$是一个正常数。