三维临界 Lin-Ni-Takagi 问题的内部气泡解

我们考虑在 $\mathbb{R}^3$ 中有界光滑区域 $\Omega$ 内，在零诺伊曼边界条件下，寻求问题 $\Delta u - \lambda u +u^5 = 0$ 的正解。此处 $\lambda$ 为正数。当将 $\lambda$ 视为参数时，我们分析了 $-\Delta +\lambda$ 的格林函数在存在于区域一点处呈现单气泡行为的解时所起的作用。作为我们结果的一个特例，我们发现并刻画了一个正值 $\lambda_*$，使得若 $\lambda-\lambda^*>0$ 足够小，则该问题可由解 $u_\lambda$ 求解，且当 $\lambda \downarrow \lambda_*$ 时，$u_\lambda$ 在 $\Omega$ 的某一内部点通过气泡现象爆破。