次临界 Dirichlet 问题中带残余质量的爆炸解

本文研究 Dirichlet 边值问题 $(\mathcal{P}_\varepsilon)$：$-\Delta u +V\,u = u^{p-\varepsilon}$，其中 $u>0$ 于 $\Omega$ 内，$u=0$ 于 $\partial\Omega$，$\Omega\subset \R^n$（$n\geq 3$）为有界域，$V$ 为 $\overline{\Omega}$ 上的光滑正函数，$p+1= 2n/(n-2)$ 为临界 Sobolev 指数，$\varepsilon >0$ 为小参数。首先，我们指出，与弱收敛于零的情况不同，低维情形下内部气泡解若具有非零弱极限则不可实现。随后我们放宽假设，允许气泸点不局限于内部。通过对关联泛函梯度的精细渐近展开，我们证明在维数 $n=4$ 和 $n=5$ 中，单个气泸点不可与残余质量共存。进一步阐明了势函数 $V$ 在边界法向导数符号对边界气泸解的影响：若其为正，则任何带残余质量的单个气泸解必在内部发生；若在某边界点为负，则可构造边界气泸解。最后，我们构造了既简单又复杂的内部气泸解，展示其具有残余质量，且不依赖势函数法向导数的符号假设。上述结果为势函数、域几何与临界非线性之间的相互作用提供了新的理解。