近临界问题中内部聚集的气泡解

我们研究了以下近临界问题爆破解的存在性：$$-\Delta u +V(x)u =u^{p-\e},\quad u>0\quad\mbox{in}\quad \O,\quad u=0\quad\mbox{on}\quad \partial\O,$$ 其中 $\O$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界正则域，$n\geq 4$，$\varepsilon$ 是一个小的正参数，$p+1=(2n)/(n-2)$ 是临界Sobolev指数，且势函数 $V$ 是一个光滑的正函数。我们找到了当 $\e$ 趋于零时，在内部呈现气泡聚集的解。据我们所知，这是一般域中Dirichlet问题的内部非简单爆破正解的第一个存在性结果。我们的结果通过对相关Euler-Lagrange泛函梯度的精细渐近估计得以证明。