三维下 Choquard 型 Brezis-Nirenberg 问题中爆炸解的研究

本文关注 Choquard 型 Brezis-Nirenberg 问题的解的存在性. 具体地, 我们研究如下问题:\n\n\begin{align*}\n\left\\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=\displaystyle\Big(\int\limits_{\Omega}\frac{u^{6-\alpha}(y)}{|x-y|^\alpha}dy\Big)u^{5-\alpha}+\lambda u, \ \ &\mbox{in}\ \Omega, \quad u=0, \ \ &\mbox{on}\ \partial \Omega, \end{array} \right.\end{align*}\n\n其中, $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的光滑有界域, $\alpha\in (0,3)$, $6-\alpha$ 为 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式意义下的上临界指数, $\lambda$ 为正实数参数. 通过应用约化 argument, 我们找到并刻画了一个正值 $\lambda_0$, 使得当 $\lambda-\lambda_0>0$ 且足够小时, 上述问题 admits 一个解, 该解在 $\lambda\rightarrow \lambda_0$ 时发生爆炸并集中于 Robin 函数的临界点. 此外, 我们还考虑上述问题在零 Neumann 边界条件下的情形.