全空间中 Gierer-Meinhardt 系统的稳态解

我们关注如下 Gierer-Meinhardt 系统正解的研究 $$\begin{cases} \displaystyle -\Delta u+\lambda u=\frac{u^p}{v^q}+\rho(x) &\quad\mbox{ in }\mathbb{R}^N\, , N\geq 3,\\[0.1in] \displaystyle -\Delta v+\mu v=\frac{u^m}{v^s} &\quad\mbox{ in }\mathbb{R}^N,\\[0.1in] \end{cases}$$ 其满足当 $|x|\to \infty$ 时 $u(x), v(x)\to 0$。在上述系统中 $p,q,m,s>0$，$\lambda, \mu\geq 0$ 且 $\rho\in C(\mathbb{R}^N)$，$\rho\geq 0$。已知在 $\mathbb{R}^N$ 的光滑有界域中，上述系统配以齐次 Neumann 边界条件在 $p>1$ 且 $\sigma=\frac{mq}{(p-1)(s+1)}>1$ 时有正解。本工作中我们强调一种不同现象：我们看到对于大的 $\lambda, \mu>0$，若 $0< \sigma\leq 1$ 则存在具指数衰减的正解。进一步，对于 $\lambda=\mu=0$ 我们导出多种存在与不存在结果，并凸显临界指数 $p=\frac{N}{N-2}$ 与 $p=\frac{N+2}{N-2}$ 的作用。