具陡峭势阱的Schrödinger-Poisson系统的正解

本文考虑如下Schrödinger-Poisson系统 \begin{equation*} \begin{cases} - \Delta u+\lambda V(x)u+ \mu\phi u=|u|^{p-2}u &\text{in $\mathbb{R}^3$},\cr -\Delta \phi=u^{2} &\text{in $\mathbb{R}^3$}, \end{cases} \end{equation*} 其中 $\lambda,\:\mu>0$ 为实参数且 $2<p<6$。设 $V(x)$ 表示以 $V^{-1}(0)$ 为底部的势阱，该系统在 $4\leq p<6$ 的情形已被广泛研究。相反，由于非局部项 $\phi u$ 的存在，在 $2<p<4$ 的情形尚无解的存在性结果。借助截断技术与依赖于参数的紧性引理，我们首先证明了在 $\lambda$ 大且 $\mu$ 小的 $2<p<4$ 情形下正解的存在性。随后我们得到在 $\lambda$ 大且 $\mu$ 大的 $2<p\leq3$ 情形下非平凡解的不存在性。最后，我们探讨了正解当 $|x| \rightarrow \infty$ 时的衰减率，以及当 $\lambda \rightarrow \infty$ 和 $\mu \rightarrow 0$ 时的渐近行为。