Schrödinger-Poisson 型系统的某些存在性与非存在性结果

本文研究了如下 Schrödinger-Poisson 系统：$$\left \{ \begin{array}{l} -\Delta u=\sqrt{p}u^{p-1}v, \quad u>0 \quad in \quad R^n, -\Delta v=\sqrt{p}u^p, \quad v>0 \quad in \quad R^n \end{array} \right.$$ 其中 $n \geq 3$ 且 $p>1$。我们借助涉及 Newton 势的积分系统 $$\left \{ \begin{array}{l} u(x)=c_1\displaystyle\int_{R^n}\frac{u^{p-1}(y)v(y)dy}{|x-y|^{n-2}}, \quad u>0 \quad in \quad R^n, v(x)=c_2\displaystyle\int_{R^n}\frac{u^p(y)dy}{|x-y|^{n-2}} \quad v>0 \quad in \quad R^n. \end{array} \right.$$ 来探究正经典解的存在性与非存在性。首先，当 $p\leq \frac{n}{n-2}$ 时，该系统无解。当 $p>\frac{n}{n-2}$ 时，系统在 $R^n \setminus \{0\}$ 上存在一个具有慢渐近速率 $\frac{2}{p-1}$ 的奇性解。当 $p<\frac{n+2}{n-2}$ 时，系统在 $L^{\frac{n(p-1)}{2}}(R^n)$ 中无解。事实上，若系统在 $L^{\frac{n(p-1)}{2}}(R^n)$ 中有解，则必有 $p=\frac{n+2}{n-2}$，且所有正经典解可分类为 $u(x)=v(x)=c(\frac{t}{t^2+|x-x^*|^2})^{\frac{n-2}{2}}$，其中 $c,t$ 为正实数。当 $p>\frac{n+2}{n-2}$ 时，通过打靶法 (shooting method) 和 Pohozaev 恒等式，我们发现了另一对满足 $u \equiv v$ 且以慢速率 $\frac{2}{p-1}$ 衰减的径向解 $(u,v)$。