具有消失势的耦合非线性 Kirchhoff 型方程组的正解

本文考虑具有消失势的强耦合非线性 Kirchhoff 型方程组：\begin{equation*}\begin{cases} -\left(a_1+b_1\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2\dx\right)\Delta u+\lambda V(x)u=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}|u|^{\alpha-2}u|v|^{\beta},&x\in\mathbb{R}^3,\\ -\left(a_2+b_2\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla v|^2\dx\right)\Delta v+\lambda W(x)v=\frac{\beta}{\alpha+\beta}|u|^{\alpha}|v|^{\beta-2}v,&x\in\mathbb{R}^3,\\ u,v\in \mathcal{D}^{1,2}(\R^3), \end{cases}\end{equation*} 其中 $a_i>0$ 为常数，$i=1,2$ 时 $\lambda,b_i>0$ 为参数，$\alpha,\beta>1$ 且 $\alpha+\beta\leqslant 4$，$V(x)$、$W(x)$ 为非负连续势，非线性项 $F(x,u,v)=|u|^\alpha|v|^\beta$ 在无穷远处不是 4-超线性的。此类问题即便将相应能量泛函限制在 Nehari 流形上，也无法直接用标准变分法研究，因为 Palais-Smale 序列可能无界。结合新的细致估计与截断技术，我们在 $b_1+b_2$ 较小且 $\lambda$ 较大时获得了上述方程组正向量解的存在性。此外，还探讨了当 $\textbf{b}=(b_1,b_2)\to \bf{0}$ 且 $\lambda\to\infty$ 时这些向量解的渐近行为。特别地，我们的结果推广了先前仅处理 $4<\alpha+\beta<6$ 情形的已知结论。