关于 Kirchhoff--Choquard 系统在常数势函数下平凡解存在性的研究

本文考虑以下在 $\mathbb{R}^3$ 上的线性耦合 Kirchhoff--Choquard 系统：\begin{align*} \begin{cases} -\left(a_1 + b_1\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2\,dx\right)\Delta u + V_1 u = \mu (I_{\alpha} * |u|^p) |u|^{p - 2} u + \lambda v, \ \ x\in\mathbb{R}^3\\ -\left(a_2 + b_2\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla v|^2\,dx\right)\Delta v + V_2 v = \nu (I_{\alpha} * |v|^q) |v|^{q - 2} v + \lambda u, \ \ x\in\mathbb{R}^3 \\ u, v \in H^1(\mathbb{R}^3), \end{cases} \end{align*} 其中 $a_1, a_2, b_1, b_2, V_1, V_2$, $\lambda$, $\mu$ 和 $\nu$ 为正常数。函数 $I_{\alpha} : \mathbb{R}^3 \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ 表示 $\alpha \in (0, 3)$ 上的 Riesz 势。我们在满足 $V_1$, $V_2$ 和 $\lambda$ 的适当条件下，研究正平凡解的存在性，具体包括以下情况：$\frac{3 + \alpha}{3} < p \le q < 3 + \alpha$，或$\frac{3 + \alpha}{3} < p < q = 3 + \alpha$，或$\frac{3 + \alpha}{3} = p < q < 3 + \alpha$。通过基于 Nehari--Pohozaev 流形的变分方法求解，灵感来源于 Ueno (Commun. Pure Appl. Anal. 24 (2025)) 和 Chen--Liu (J. Math. Anal. 473 (2019)) 的工作。特别地，在上半临界情形 $\frac{3 + \alpha}{3} < p < q = 3 + \alpha$ 和下半临界情形 $\frac{3 + \alpha}{3} = p < q < 3 + \alpha$ 中，仅当 $\mu$ 或 $\nu$ 足够大时，可通过控制最小化问题的能量水平来获得平凡解。为使用 Nehari--Pohozaev 流形，我们扩展了线性耦合系统的正则性结果，这对于 Pohozaev 公式的有效性至关重要。