$\mathbb{R}^{N}$ 上线性耦合薛定谔方程组的基态

我们研究如下一类线性耦合薛定谔椭圆组 $$\left\{ \begin{array}{lr} -\Delta u+V_{1}(x)u=\mu|u|^{p-2}u+\lambda(x)v, & \quad x\in\mathbb{R}^{N}, \\ -\Delta v+V_{2}(x)v=|v|^{q-2}v+\lambda(x)u, & x\in\mathbb{R}^{N}, \end{array} \right.$$ 其中 $N\geq3$，$2<p\leq q\leq 2^{*}=2N/(N-2)$ 且 $\mu\geq0$。我们考虑与耦合项 $\lambda(x)$ 通过假设 $|"lambda(x)|\leq\delta\sqrt{V_{1}(x)V_{2}(x)}$（对某个 $0<\delta<1$）相关联的周期或渐近周期非负势。我们处理三种情形：首先，研究次临界情形 $2<p\leq q<2^{*}$，证明对所有参数 $\mu\geq0$ 存在正基态。其次，考虑临界情形 $2<p<q=2^{*}$，证明存在 $\mu_{0}>0$ 使得耦合组对所有 $\mu\geq\mu_{0}$ 拥有正基态解。这些情形中，我们使用基于 Nehari 流形的极小化方法。最后，考虑 $p=q=2^{*}$ 的情形，证明耦合组无正解。对此，我们使用了一类 Pohozaev 恒等式。