具有混合耦合的非线性薛定谔方程组的基态

我们考虑如下 $k$ 耦合非线性薛定谔方程组：\begin{align*} \begin{cases} &-\Delta u_j + \lambda_j u_j = \mu_j u_j^3 + \sum_{i=1, i\not=j}^k \beta_{i,j} u_i^2 u_j \quad {\rm in}\ \mathbb{R}^N,\\ &u_j>0 \quad {\rm in}\ \mathbb{R}^N, \quad u_j(x) \to 0 \quad \text{as }|x|\to +\infty, \quad j=1,2,\cdots,k, \end{cases} \end{align*} 其中 $N\leq 3$，$k\geq3$，$\lambda_j,\mu_j>0$ 为常数且 $\beta_{i,j}=\beta_{j,i}\not=0$ 为参数。当 $k=2$ 或系统为纯吸引（$\beta_{i,j}>0, \forall i \not = j$）或纯排斥（$\beta_{i,j}<0, \forall i\not = j$）时，上述系统已有大量研究；然而对于 $k\geq 3$ 且系统具有{\bf 混合耦合}（即存在 $(i_1,j_1)$ 与 $(i_2,j_2)$ 使得 $\beta_{i_1,j_1}\beta_{i_2,j_2}<0$）的情形，结果极少。本文首次对混合耦合下基态的存在性给出系统且（近乎）完整的研究。我们先将系统分为{\bf 排斥-混合}与{\bf 全混合}两类。第一类情形我们证明基态不存在。第二类情形我们给出基态存在的必要条件并给出 Morse 指数的估计。关键思想在于系统的{\bf 块分解}（{\bf 最优块分解、最终块分解}）及不同{\bf 块}间总相互作用力的度量。最后在某些特殊情形下，基态存在的假设被证明是{\bf 最优}的。