Choquard 方程解的存在性与非存在性

本文中，我们建立了 Choquard 方程 \begin{equation}\label{eq 1} - \Delta u + u = q\,(I_\alpha \ast |u|^p) |u|^{q - 2} u+p\,(I_\alpha \ast |u|^q) |u|^{p - 2} u\quad {\rm in }\quad \mathbb{R}^N, \end{equation} 基态解的存在性，其中 $N \ge 3$, $\alpha \in (0, N)$, $I_\alpha: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ 是 Riesz 势，$p,\,q >0$ 满足 \begin{equation}\label{eq 2} \frac{2(N+\alpha)}{N}<p+q< \frac{2(N+\alpha)}{N-2}. \end{equation} 此外，我们证明了该 Choquard 方程的一个 Pohožaev 型恒等式，这蕴含了当 $(p,q)$ 不满足上述条件时问题的非存在性结果。