完全 Grushin-Choquard 方程的存在性与正则性

我们考察以下 Choquard 方程 $$-\Delta_\gamma u + u = \left(d(z)^{-\mu} \ast |u|^p\right)|u|^{p-2}u, \text{ 在 } \mathbb{R}^N,$$ 其中 $\Delta_\gamma$ 为 Grushin 算子。对于参数 $p$ 的合适范围，我们证明了方程的山坡过程解的存在性，并证明该解属于 $L^q(\mathbb{R}^N)$ 对于所有 $q\in [2,\infty]$ 以及 $C^{0,\alpha}_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^N)$ 其中 $\alpha \in (0,1)$。此外，我们提供了一个 Poho\v zaev 类型恒等式，这允许我们推导出关于本方程平滑解的不存在性结果。