基于集中紧致方法的临界 Choquard 方程解的存在性

本文考虑非线性 Choquard 方程 $$-\Delta u+V(x)u =\left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(y,u)}{|x-y|^{\mu}}dy\right)g(x,u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^N,$$ 其中 $0<\mu<N$，$N\geq3$，$g(x,u)$ 由于 Hardy--Littlewood--Sobolev 不等式而具有临界增长，且 $G(x,u)=\displaystyle\int^u_0g(x,s)ds$。首先，通过假设势 $V(x)$ 可能变号，我们借助 Choquard 方程的集中紧致原理研究山路解的存在性。其次，在 Benci 和 Cerami \cite{BC1} 引入的条件下，我们还利用非局部 Choquard 方程的全局紧致引理研究高能解的存在性。