具有临界增长的 Choquard 型方程的半经典态：临界频率情形

本文研究 Choquard 型方程的半经典态的存在性 -\vr^2\Delta u +V(x)u =\Big(\int_{\R^N} \frac{G(u(y))}{|x-y|^\mu}dy\Big)g(u) \quad \mbox{在 $\R^N$ 中}, 其中 $0<\mu<N$，$N\geq3$，$\vr$ 为正参数，$G$ 为 $g$ 的原函数，由于 Hardy--Littlewood--Sobolev 不等式，其具有临界增长。假设势函数 $V(x)$ 非负且在 $\R^N$ 的某区域内 $V(x)=0$，这意味着它属于临界频率情形。首先，我们研究具有双临界指数的 Choquard 方程，并通过 Mountain-Pass 定理与亏格理论证明半经典解的存在性与多重性。其次，我们考虑一类无下微扰的临界 Choquard 方程，通过为非局部 Choquard 方程建立全局紧性引理，我们利用 Lusternik--Schnirelman 理论证明了高能半经典态的多重性。