具组合吸引型非线性的 Choquard 方程的渐近轮廓

我们研究非线性 Choquard 方程 $$-\Delta u+\varepsilon u=(I_\alpha \ast |u|^{p})|u|^{p-2}u+ |u|^{q-2}u \quad {\rm in} \ \mathbb R^N,$$ 的正基态解的渐近行为，其中 $N\ge 3$ 为整数，$p\in [\frac{N+\alpha}{N}, \frac{N+\alpha}{N-2}]$，$q\in (2,\frac{2N}{N-2}]$，$I_\alpha$ 为 Riesz 位势，$\varepsilon>0$ 为参数。我们证明当 $\varepsilon\to 0$（相应于 $\varepsilon\to \infty$）时，经适当重标度后 $(P_\varepsilon)$ 的基态解在 $H^1(\mathbb R^N)$ 中收敛到某极限方程的特定解。我们还建立了该重标度的尖锐渐近刻画，以及 $u_\varepsilon(0), \|\nabla u_\varepsilon\|_2^2, \|u_\varepsilon\|_2^2, \int_{\mathbb R^N}(I_\alpha\ast |u_\varepsilon|^p)|u_\varepsilon|^p$ 和 $\|u_\varepsilon\|_q^q$ 的精确渐近行为，它们以非平凡方式依赖于指数 $p, q$ 与空间维数 $N$。我们还讨论了所得结果与一个带归一化约束 $\int_{\mathbb R^N}|u|^2=c^2$ 的关联质量约束问题的联系。作为主结果的推论，我们获得了该问题正归一化解在 $c\to 0$ 与 $c\to \infty$ 时的存在性、多重性与精确渐近行为。