具有局部排斥的奇摄动Choquard方程的极限剖面

我们研究如下形式的Choquard型方程 $$-\Delta u +\varepsilon u-(I_{\alpha}*|u|^p)|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u=0\quad in \quad {\mathbb R}^N,\qquad\qquad(P_\varepsilon)$$ 其中$N\geq3$，$I_\alpha$为Riesz位势且$\alpha\in(0,N)$，$p>1$，$q>2$且$\varepsilon\ge 0$。此类方程描述自相互作用多体系统的集体行为。非局部非线性项表示长程吸引，而局部非线性项表示短程排斥。在论文第一部分，对近乎最优的参数范围，我们证明$(P_0)$及$\varepsilon>0$时$(P_\varepsilon)$的正基态的存在性，并研究其正则性与定性性质。我们还研究了与$(P_\varepsilon)$相关的积分Thomas-Fermi型方程的紧支集基态的存在性。在论文第二部分，对$\varepsilon\to 0$我们识别出六种不同渐近机制，并刻画每种机制下$(P_\varepsilon)$基态的极限剖面。我们还概述了$\varepsilon\to\infty$时的三种不同渐近机制。在其中一种渐近机制中，$(P_\varepsilon)$的正基态收敛到紧支集的Thomas-Fermi极限剖面。这是一种新的、纯非局部的现象，在$\alpha=0$时$(P_\varepsilon)$的局部原型情形中无法观察到。特别地，这为自引力玻色-爱因斯坦凝聚体的天体物理模型中的Thomas-Fermi近似提供了依据。