非局部变分问题的基态与Choquard方程的Thomas-Fermi极限

我们研究Gagliardo-Nirenberg类型不等式的非负优化器：$$\iint_{\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N} \frac{|u(x)|^p\,|u(y)|^p}{|x - y|^{N-\alpha}} dx\, dy\le C\Big(\int_{{\mathbb R}^N}|u|^2 dx\Big)^{p\theta} \Big(\int_{{\mathbb R}^N}|u|^q dx\Big)^{2p(1-\theta)/q},$$其中$0<\alpha<N$，$p>\frac{N+\alpha}{N}$，$q>\frac{2Np}{N+\alpha}$，$\theta=\frac{(N+\alpha)q-2Np}{Np(q-2)}$。当$p=2$时，等价问题与Keller-Segel扩散-聚集模型有关。本文考虑一般情况$p\neq 2$，其出现于具有局部 repulsion 的Choquard方程的Thomas-Fermi极限情形中。我们建立上述插值不等式有效性的最优参数范围，讨论非负最大化器的存在性与定性性质，并在某些特殊情况下估计最优常数。对于$p=2$已知最大化器在球上光滑且紧支撑。我们证明当$p<2$时，最大化器为光滑函数，支撑域为$\mathbb{R}^N$；当$p>2$时，最大化器由一个球的特征函数与一个非凸单调光滑函数组成，后者同样支撑于该球内。我们利用这些最大化器的定性性质来建立Choquard方程具有局部 repulsion 的Thomas-Fermi近似的有效性。结果通过大量数值实例得到验证。