关于非线性时频集中问题优化子存在性的研究：Wigner 分布

我们证明，对于任意可测相空间子集 $\Omega\subset\mathbb{R}^{2d}$（满足 $0<|\Omega|<\infty$）以及任意 $1\le p < \infty$，非线性集中问题 $$\sup_{f \in L^2(\mathbb{R}^d)\setminus\{0\}}\frac{\|Wf\|_{L^p(\Omega)}}{\|f\|_{L^2}^2}$$ 存在优化子，其中 $Wf$ 是 $f$ 的 Wigner 分布。主要障碍在于 $Wf$ 在时频平移下是协变的（而非不变的），这阻碍了弱上半连续性，因此必须考虑相长干涉的效应。我们通过针对 Heisenberg 型位错现象的集中紧性原理，结合一个新的渐近公式，量化了渐近分离波包对 $\Omega$ 上集中的极限贡献，从而弥补了这一紧性缺口。当 $p=\infty$ 时，我们还确定了精确常数 $2^d$ 并证明其可达。我们还讨论了一些相关的扩展：对于 $\tau \in (0,1)$ 的 $\tau$-Wigner 分布，我们分离出了一种链式现象，该现象阻碍了将相同策略推广到 Wigner 情形（$\tau=1/2$）之外；而对于 $d=1$ 时的 Born-Jordan 分布，我们获得了弱连续性，从而对于所有 $1\le p<\infty$ 均存在集中优化子（$p=\infty$ 时的上确界等于 $\pi$ 但不可达）。