Choquard 方程的半经典态

我们研究非局部方程 $$-\varepsilon^2 \Delta u_\varepsilon + V u_\varepsilon = \varepsilon^{-\alpha} \bigl(I_\alpha \ast \lvert u_\varepsilon\rvert^p\bigr) \lvert u_\varepsilon \rvert^{p - 2} u_\varepsilon\quad\text{in \(\mathbf{R}^N\)},$$ 其中 $N \ge 1$，$\alpha \in (0, N)$，$I_\alpha (x) = A_\alpha/\lvert x \rvert^{N - \alpha}$ 为 Riesz 势，$\varepsilon > 0$ 为小参数。我们证明，若外势 $V \in C (\mathbb{R}^N; [0, \infty))$ 具有局部极小值且 $p \in [2, (N + \alpha)/(N - 2)_+)$，则对于所有充分小的 $\varepsilon > 0$，只要满足以下条件之一：$p > 1 + \max (\alpha, \frac{\alpha + 2}{2})/(N - 2)_+$，或 $p > 2$ 且 $\liminf_{\lvert x\rvert \to \infty} V (x) \lvert x \rvert^2 > 0$，或 $p = 2$ 且 $\inf_{x \in \mathbb{R}^N} V (x) (1 + \lvert x \rvert^{N - \alpha}) > 0$，该问题就存在一族集中于 $V$ 局部极小值处的解。我们关于 $V$ 衰减性及 $p\ge 2$ 允许范围的假设是最优的。证明使用了变分法以及我们在本文中发展的一种新型非局部惩罚技术。