基于非线性 Rayleigh 商的凹-凸非线性 Choquard 方程

建立了如下形式凹-凸非线性 Choquard 方程基态与束缚态解的存在性 $$\begin{array}{rcl} -\Delta u +V(x) u &=& (I_\alpha* |u|^p)|u|^{p-2}u+ \lambda |u|^{q-2}u, \, u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), \end{array}$$ 其中 $\lambda > 0, N \geq 3, \alpha \in (0, N)$。势 $V$ 为连续函数，$I_\alpha$ 表示标准 Riesz 势。并假设 $1 < q < 2,~2_{\alpha} < p < 2^*_\alpha$，其中 $2_\alpha=(N+\alpha)/N$，$2_\alpha=(N+\alpha)/(N-2)$。我们的主要贡献是考虑关于参数 $\lambda > 0$ 的特定条件，并顾及非线性 Rayleigh 商。更确切地说，存在 $\lambda_n > 0$ 使得对每个 $\lambda \in (0, \lambda_n]$ 我们的主要问题至少承认两个正解。为此，我们将 Nehari 方法与对非线性 Rayleigh 商的精细分析相结合。参数 $\lambda_n > 0$ 在某种意义下是最优的，这使得我们能够应用 Nehari 方法。