满足 Berestycki-Lions 假设的非线性项奇异扰动 Choquard 方程

在本文中，我们考虑如下奇异扰动问题：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -\varepsilon^2\triangle u+V(x)u=\varepsilon^{-\alpha}(I_{\alpha}*F(u))f(u), & x\in \R^N; u\in H^1(\R^N), \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\varepsilon>0$ 为参数，$N\ge 3$，$\alpha\in (0, N)$，$F(t)=\int_{0}^{t}f(s)\mathrm{d}s$，$I_{\alpha}: \R^N\rightarrow \R$ 为 Riesz 位势。通过引入一些新技巧，我们证明了在非线性项 $f$ 上几乎必要的广义“Berestycki-Lions 假设”以及对势 $V$ 的一些弱假设下，上述问题存在半经典基态解（$\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$）与基态解（$\varepsilon=1$）。当 $\varepsilon=1$ 时，我们的结果推广并改进了 [V. Moroz, J. Van Schaftingen, T. Am. Math. Soc. 367 (2015) 6557-6579] 与 [H. Berestycki, P.L. Lions, Arch. Rational Mech. Anal. 82 (1983) 313-345] 以及其它一些相关文献中的结果。特别地，我们的方法对许多类似问题有用。