方程$-\Delta u + u^q=0$正解的完全分类

我们研究有界$C^2$区域$\Omega\subset R^N$中的方程$-\Delta u+u^q=0$，$q>1$。方程的一个正解称为适中的，如果它被一个调和函数控制；称为$\sigma$-适中的，如果它是一个递增的适中解序列的极限。已知在次临界情形$1<q<q_c=(N+1)/(N-1)$下，每个正解都是$\sigma$-适中的[31]。最近，Dynkin通过概率方法证明，对于超临界情形中$q\le2$的情况，这一结论仍然成立[15]。对于$q>2$的情况，问题仍然悬而未决。在本文中，我们证明，对于所有$q\ge q_c$，每个正解都是$\sigma$-适中的。我们使用了纯分析技巧，这些技巧适用于整个超临界范围。主要工具来自线性和非线性位势论。结合先前的结果，这建立了正解与其在[35]意义下的边界迹之间的一一对应关系。