含 Hardy 势的半线性椭圆方程的适度解

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的有界光滑区域。我们研究方程 (E) $-L_\mu u+ u^q = 0$ 在 $\Omega$ 内的正解，其中 $L_\mu=\Delta + \frac{\mu}{\delta^2}$，$0<\mu$，$q>1$ 且 $\delta(x)=\mathrm{dist}\,(x,\partial\Omega)$。若方程 (E) 的正解受某个 $L_\mu$-调和函数控制，则称其为适度解。如果 $\mu<C_H(\Omega)$（$\Omega$ 的 Hardy 常数），则每个正 $L_\mu$-调和函数都可以通过 Martin 表示定理用 $\partial\Omega$ 上的有限测度来表示。然而，任何此类解的经典测度边界迹均为零。我们引入了归一化边界迹的概念，借此获得了次临界情形 $1<q<q_{\mu,c}$ 下方程 (E) 正适度解的完整分类。（临界值仅取决于 $N$ 和 $\mu$。）对于 $q\geq q_{\mu,c}$，不存在在边界上具有孤立奇点的适度解。我们还详细讨论了线性算子 $L_\mu$ 的归一化边界迹及相关边值问题。这些结果构成了研究非线性问题的基础。