二阶椭圆算子特征函数在层状介质中的浓度与非浓度现象

设 $\Omega '\subset \mathbb{R}^d$ 为光滑的有界开放域，$\Omega = \Omega'\times (0,H)\subset \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}_+$。坐标记为 $x = (x' , y) \in \Omega' \times (0, H)$。本文讨论二阶椭圆算子 $A = -\nabla\cdot\tilde{c}\nabla$ 在 $L^2(\Omega,dx)$ 中特征函数的浓度（及非浓度）特性（在 $\Omega$ 的子区域内），其定义域为 $D(A) = \{v\in H_0^1(\Omega); \tilde{c}\nabla v \in H^1(\Omega)\}$。系数 $\tilde{c}>0$ 假设为有界的，但不施加连续性假设。$\tilde{c}$ 在波动方程中常被视为声速的平方，在物理文献中常称为弹性系数。本研究关注层状介质，即 $\tilde{c}(x)$ 只依赖于单个空间坐标 $y \in (0, H)$，故 $\tilde{c}(x) = \tilde{c}(x' , y) = c(y)$。算子 A 的特征值在除去一个小剩余集外，可划分为两个互不相交的无限集合。对应的特征函数分别标记为 $F_G$（引导型）和 $F_{NG}$（非引导型）。它们的渐近特性通过当关联特征值趋于无穷大时所得的适当估计来表达。在 $F_G$ 中的特征函数在 $c(y)$ 的“井”中浓度，沿浓度区域外以多项式速率衰减。在 $F_{NG}$ 中的非浓集特征函数在每个区域内都呈现振荡，振幅不衰减。这些结果对所有具有统一总变差上界的弹性系数族均适用。本文将连续但不具备界限性质的函数 $\tilde{c}(y)$ 的非浓集性作为开放问题留下。