层状介质中二阶椭圆算子本征函数的聚集与非聚集

本文研究定义在区域 $\Omega$ := $\Omega$' x (0, H) $\subseteq$ R^d x R^+ 上的算子 A = -c$\Delta$，其中扩散系数 c > 0 依赖于一个坐标 y $\in$ (0, H)，有界但可能不连续。这对应于声学、弹性力学、光纤等中出现的“层状介质”物理模型。假设 Dirichlet 边界条件。一般地，对每个 $\epsilon$ > 0，本征函数集合被划分为三个互不相交的子集：Fng（非导波）、Fg（导波）和 Fres（残余集）。残余集随 $\epsilon$ $\rightarrow$ 0 收缩。数学文献中常将导波/非导波这一习惯物理术语分别替换为聚集/非聚集解。对于导波，“层状介质”的假设使我们能获得其在聚集区外指数衰减的严格估计。非导波情形在文献中较少受到关注。尽管它与物理模型的联系不那么紧密，却引出了一些关于振荡解及其渐近性质的非常有趣的问题。当 c(y) $\in$ C^2 时经典渐近方法可用，但较低的正则性排除了此类方法。相关的本征函数（在 Fng 中）是振荡的。然而，这一事实本身并不排除解在两个相邻零点之间“展平”从而导致在互补区间聚集的可能性。在此我们证明，当 c(y) 为有界变差时，通过证明“最小振幅假设”可知这不会发生。但当 c(y) 不是有界变差时（即使连续）此类结果是否成立仍是一个开放问题。