粗糙域的部分正则性与保持拓扑的光滑逼近

对于 $C^0$ 类的有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^m, m\geq 2$，研究了“好方向”场的性质，即相对于这些方向，$\partial\Omega$ 可以局部表示为连续函数的图像。对于任何这样的域，在 $\partial\Omega$ 的适当邻域内存在一个规范的“好方向”光滑场，据此可以定义相应的流。利用该流，证明了 $\Omega$ 可以从内部和外部被 $C^\infty$ 类的微分同胚域所逼近。定义在 $\partial\Omega$ 上的一般连续“好方向”场（伪法线）的像是否为整个 $\mathbb{S}^{m-1}$，取决于 $\Omega$ 的拓扑。这些考虑被用于证明：如果 $m=2,3$，或者如果 $\Omega$ 具有非零 Euler 特征，则存在一点 $P\in\partial\Omega$，在其邻域内 $\partial\Omega$ 是 Lipschitz 的。即使对于具有 Lipschitz 或光滑边界的更正则域，这些结果也提供了新的信息。