Lipschitz 自由边界的正则性：针对 Alt-Caffarelli 类型问题的弱解

我们受 Serrin 问题的启发，研究广义 Alt-Caffarelli 问题 $-\Delta u = f$ 在 $\Omega$ 中，$u = 0$ 在 $\partial\Omega$，$\partial_\nu u = Q$ 在 $\partial\Omega$ 的弱解。我们的主要结果表明，如果 $\Omega$ 为 Lipschitz 域，则其实际上是 $C^{\infty}$ 的（前提是 $f$ 和 $Q$ 为光滑的）。此前仅已知黏性解满足此性质。作为推论，我们获得了 Serrin 题目在 Lipschitz 域情况下的另一种解。我们还讨论了 Lipschitz 域正则性的特征化，尤其是其泊松核。