通过平行曲面问题的稳定性研究 Serrin 超定问题中的对称性与线性稳定性

我们考虑问题 $$-\Delta u=f(u) \ \mbox{且} \ u>0 \ \ \mbox{在} \ \Omega \ \mbox{内}, \ \ u=0 \ \mbox{在} \ \Gamma \ \mbox{上}$$ 的解，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的有界区域，其边界 $\Gamma$ 为 $C^{2,\tau}$ 类，$0<\tau<1$，且 $f$ 是局部 Lipschitz 连续的非线性函数。Serrin 著名的对称性定理指出，若法向导数 $u_\nu$ 在 $\Gamma$ 上为常数，则 $\Omega$ 必为球体。在 [CMS2] 中有人猜想，Serrin 定理可通过稳定性按如下方式获得：首先，对于解 $u$ 证明估计式 $$r_e-r_i\le C_\delta\,[u]_{\Gamma^\delta}$$ 对于某个依赖于 $\delta>0$ 的常数 $C_\delta$ 成立，其中 $r_e$ 和 $r_i$ 是包含 $\Gamma$ 的球面环面的半径，$\Gamma^\delta$ 是与 $\Gamma$ 距离为 $\delta$ 且充分接近 $\Gamma$ 的平行曲面，$[u]_{\Gamma^\delta}$ 是 $u$ 在 $\Gamma^\delta$ 上的 Lipschitz 半范数；其次，若 additionally $u_\nu$ 在 $\Gamma$ 上为常数，则证明当 $\delta\to 0^+$ 时 $$[u]_{\Gamma^\delta}=o(C_\delta)\ \mbox{。}$$ 在本文中，我们证明了这一策略是成功的。作为该方法的副产品，对于 $C^{2,\tau}$ 正则区域，我们还获得了 Serrin 对称性结果的线性稳定性估计。我们的结果是最优的，并极大地改进了 [ABR] 中类似的對数型估计以及 [CMV] 中仅限于凸区域的 H"{o}lder 估计。