C-GNP 域中一类超定问题的对称性与定性、定量稳定性

我们引入了一个统一的几何框架，用于描述相对于严格凸集 $C$ 满足几何正规性质（C-GNP）的域。在源项 $f$ 支撑于核心 $C$ 的基本假设下，我们建立了椭圆方程超水平集的稳定性，并通过不依赖移动平面法、而是依靠几何单调性与 Hopf 边界引理的方法，证明了经典 Serrin 型问题的刚性对称性。随后，我们将该分析推广到源项支撑于核心的耦合双调和超定问题 $\mathrm{P}(\kappa)$。利用 C-GNP 类的紧性以及厚度函数在 Hausdorff 收敛下的稳定性，我们证明了一个定性稳定性定理：若超定条件在 $L^2$ 范数下近似满足，则域在 Hausdorff 意义下收敛到唯一的球解。进一步地，我们建立了定量稳定性估计：存在常数 $C$，使得 $$\rho_e - \rho_i \le C \big\| |\nabla u| |\nabla v| - \kappa \big\|_{L^2(\partial \Omega)}^{\tau_N},$$ 其中 $\tau_2 = 1$，$\tau_3$ 可任意接近 1，对于 $N \ge 4$ 的一般情形 $\tau_N = 2/(N-1)$。对于凸域，我们通过加权 Reilly 恒等式将指数改进为 $\tau_N = 4/(N+1)$。证明依赖于针对耦合系统适应的 Reilly 型积分恒等式以及针对几何定制的 Hardy-Poincaré 不等式。