关于 Serrin 超定问题及 Berestycki、Caffarelli 和 Nirenberg 的一个猜想

本文关注上半图（epigraph）中 Serrin 超定问题的刚性结果 $$\{\begin{aligned} &\Delta u+ f(u)=0,\ \ \ \{in\}\ \Omega=\{(x^\prime,x_n): x_n>\varphi (x^\prime)\},\ &u>0,\ \ \ \{in\}\ \Omega,\ &u=0,\ \ \ \{on\}\ \partial\Omega,\ &|\nabla u|=const. \{on\} \partial\Omega. \end{aligned}.$$ 我们证明，在等距意义下，该上半图必为半空间，且解 $u$ 必为一维的，前提是满足以下假设之一：要么 $n=2$；要么 $\varphi$ 全局 Lipschitz；要么 $n \leq 8$ 且 $\frac{\partial u}{\partial x_n} >0$ 于 $\Omega$ 中。鉴于 \cite{DPW} 中在维数 $n\geq 9$ 下构造的反例，该结果是最优的。这部分回答了 Berestycki, Caffarelli 和 Nirenberg \cite{BCN} 的猜想。