具有 Hardy-Hénon 权与大指数的各向异性平面椭圆 Neumann 问题的集中解

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中具有光滑边界的有界区域，我们研究如下具有 Hardy-H\'{e}non 权的各向异性椭圆 Neumann 问题 $$\begin{cases} -\nabla(a(x)\nabla u)+a(x)u=a(x)|x-q|^{2\alpha}u^p,\,\,\,\, u>0\,\,\,\, \textrm{in}\,\,\,\, \Omega,\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial\nu}=0\, \qquad\quad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \,\ \ \,\,\,\, \textrm{on}\,\, \partial\Omega, \end{cases}$$ 其中 $\nu$ 表示 $\partial\Omega$ 的外单位法向量，$q\in\overline{\Omega}$，$\alpha\in(-1,+\infty)\setminus\mathbb{N}$，$p>1$ 为大指数，$a(x)$ 为正光滑函数。我们考察各向异性系数 $a(x)$ 与奇异源 $q$ 之间的相互作用对集中解存在性的影响。我们证明：若 $q\in\Omega$ 是 $a(x)$ 的严格局部极大点，则存在一族具有任意多个累积于 $q$ 的内部尖峰的正解；若 $q\in\partial\Omega$ 是 $a(x)$ 的严格局部极大点且满足 $\langle\nabla a(q),\,\nu(q)\rangle=0$，则该问题存在一族具有任意多个累积于 $q$ 的内部与边界混合尖峰的正解。特别地，我们发现无论 $q\in\overline{\Omega}$ 是否为 $a(x)$ 的孤立局部极大点，在奇异源 $q$ 处的集中总是可能的。