具有奇异源的各向异性平面指数型非线性的 Lazer-McKenna 猜想

给定 $\mathbb{R}^2$ 中的有界光滑区域 $\Omega$，我们研究如下各向异性椭圆问题 $$\begin{cases} -\nabla\big(a(x)\nabla \upsilon\big)= a(x)\big[e^{\upsilon}-s\phi_1-4\pi\alpha\delta_q-h(x)\big]\,\,\,\,\,\,\textrm{in}\,\,\,\,\,\Omega,\\[2mm] \upsilon=0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \textrm{on}\ \,\partial\Omega, \end{cases}$$ 其中 $a(x)$ 为正光滑函数，$s>0$ 为大参数，$h\in C^{0,\gamma}(\overline{\Omega})$，$q\in\Omega$，$\alpha\in(-1,+\infty)\setminus\mathbb{N}$，$\delta_q$ 表示以 $q$ 点为极点的 Dirac 测度，$\phi_1$ 为问题 $-\nabla\big(a(x)\nabla \phi\big)=\lambda a(x)\phi$ 在 $\Omega$ 中 Dirichlet 边界条件下的正第一特征函数。我们证明：若 $q$ 既是 $\phi_1$ 的局部极大点，又是 $a(x)\phi_1$ 的孤立局部极大点，则该问题有一族解 $\upsilon_s$，其带有任意 $m$ 个向 $q$ 聚集的 bubble，且当 $s\rightarrow+\infty$ 时 $\int_{\Omega}a(x)e^{\upsilon_s}\rightarrow8\pi(m+1+\alpha)a(q)\phi_1(q)$，这对此情形给出了 Lazer-McKenna 猜想的肯定回答。