Gromov 填充面积猜想的离散视角

若紧致度度测度曲面 $M$ 等长填满闭合度度曲线 $C$，则 $\partial M=C$ 且 $d_M(x,y)=d_C(x,y)$ 对每个 $x,y\in C=\partial M$ 成立，即 $M$ 不在边界点之间引入任何“短路”。Gromov 于 1983 年提出的填充面积猜想断言，在等长填满黎曼圆的紧致定向黎曼曲面中，面积最小者为半球。Gromov 已证明此猜想在 $M$ 同胚于盘时确实成立。虽然该猜想随后在其他情形下得到验证，但完整猜想仍未解决。本文考虑 Gromov 问题的离散类比问题，这种问题对研究任意曲面上图嵌入的人来说较为自然。运用诸如 Menger 定理等标准图论工具，我们获得该离散版本的合理渐近界限。随后，我们展示这些离散界限可转化为连续情形，证明任何等长填满长度为 $2\pi$ 的黎曼圆的曲面，其面积至少为 $1.36\pi$（半球面积为 $2\pi$）。这似乎是首个适用于任意等长填满 Gromov 问题的定量下界。