由极小面积确定黎曼度量

我们证明，若 $(M,g)$ 是具有 $C^4$ 光滑黎曼度量 $g$ 的拓扑 3-球，且边界 $\partial M$ 为平均凸的，则在若干附加几何假设下，由 $\partial M$ 中简单闭曲线 $\gamma$ 所围成的最小面积知识可唯一确定度量 $g$。这些假设为：$g$ 要么 a) $C^3$ 接近于欧氏度量，要么 b) 满足更弱的几何条件，当流形在足够程度上为薄或直时该条件成立。事实上，我们所需的最小面积数据针对 $\partial M$ 中一类受限得多的曲线 $\gamma$。我们还证明了一个相应的局部结果：仅假设 $(M,g)$ 在一点 $p\in\partial M$ 处具有严格平均凸边界，我们证明由 $p$ 的邻域 $U\subset \partial M$ 内任意简单闭曲线 $\gamma$ 所围成的最小面积知识可唯一确定 $p$ 附近的度量。此外，我们概述了一个无薄/直或曲率条件的全局结果证明，但假设该度量容许“从所有方向”的极小叶状结构。证明依赖于沿 $M$ 的由面积极小曲面构成的连续扫掠寻找度量；它们汇集了来自二维 Calderón 反问题、极小曲面理论以及对一类伪微分方程系统的细致分析的思想。