循环图谱离散等距填充问题的上界

我们研究了循环图 $C_n$的离散图度类类比下的Gromov填充面积问题。若抽象三角剖分 $K$满足$\partial K=C_n$且其边界顶点间图距离在 $K$的1-骨架内部未被缩短，则称为 $C_n$的等距填充。设$D(n;\epsilon)$表示 $(1-\epsilon)$-Lipschitz填充中 $C_n$的最小顶点数，定义 $$D^*=\liminf_{\epsilon\to0^+}\liminf_{n\to\infty}\frac{D(n;\epsilon)}{n^2}.$$ 已有工作给出一般下界 $D^*\ge 1/8$，而离散球面可得上界 $$D^*\le \frac{1}{\pi\sqrt3}.$$ 本文给出显式离散构造以改进球面上界。更确切地说，我们构造等距填充 $K_n$，满足 $$|V(K_n)|\le \left(\frac16+o(1)\right)n^2,$$ 从而 $$D^*\le \frac16<\frac{1}{\pi\sqrt3}.$$ 这直接说明离散填充面积问题是Gromov原问题的 proper 放松版，无法用于解决Gromov的猜想。该构造为同心环形填充。