基于离散偏微分方程与半离散最优传输的周期性图上的尖锐离散等周不等式

我们基于通过离散偏微分方程与半离散最优传输的校准论证，发展了用于寻找形如 $(\sharp \Omega)^{d-1} \le C (\sharp \overrightarrow{\partial\Omega})^d$ 的尖锐等周不等式的判据，其中 $\Omega$ 是图的顶点子集，$\overrightarrow{\partial\Omega}$ 是 $\Omega$ 的有向边边界，同时也给出了最优等周形状 $\Omega$。该方法是在连续情形中成立的最优传输与 ABP 方法证明的离散对应，并回答了 Hamamuki \cite{hamamuki} 中出现的一个问题，将其在矩形网格上成立的工作推广到更大一类图，包括等于体积的单纯网格的对偶图。我们还将该问题与 Voronoi 镶嵌理论以及半离散最优传输中的 Aleksandrov 解理论相联系。先前在连续情形与 $\mathbb Z^d$-图情形中所使用的几何-算术不等式的作用，现由几何胞元优化常数所扮演，其中该优化问题类似于 Minkowski 对其凸多面体经典定理证明中的情形。最后，我们研究了相关离散 Neumann 边界问题中的最优常数，并提出了一系列关于进一步分类离散边等周常数与形状的可能方向。