图上的离散重排与Polya-Szego不等式

对任意$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$，对称递减重排$f^*$满足Polya-Szeg\H{o}不等式$\| \nabla f^*\|_{L^p} \leq \| \nabla f\|_{L^p}$。本文的目标是在满足适当条件的图上建立离散情形下的类似结果。我们证明，若图上的边等周问题有一列嵌套极小元，则该序列给出满足$L^1$中Polya-Szeg\H{o}不等式的重排。例如，这表明网格图$\mathbb{Z}^2$上以螺旋状绕原点的特定重排满足$\| \nabla f^*\|_{L^1} \leq \| \nabla f\|_{L^1}$。$L^{\infty}-$情形由顶点等周中的最优排序条件推出。我们利用这些思想证明无穷$d-$正则树上的标准重排对所有$1 \leq p \leq \infty$满足Polya-Szeg\H{o}不等式。