入度多面体上的可分离凸优化

我们研究无向图在入度基础目标下的平等(无环)定向问题，如最小化严格凸函数 $\varphi$ 的入度 $\varphi$-和(deco-min)、递减最小化(dec-min)和递增最大化(inc-max)。在Frank和Murota(2022)的非无环情境中，单个定向可同时优化这三个目标，但限制为无环定向则将我们限制在入度多面体的顶点上，这些公平目标在此处发生分歧。我们在广泛的情境中建立了强烈的硬度结果：对于每个离散严格凸函数 $\varphi$，最小化入度 $\varphi$-和为NP-hard；dec-min和inc-max对于每个入度下界 $k \geq 2$，以及无下界情形均为NP-hard；反之，inc-min和dec-max问题即使在3-regular图上也为NP-hard。对于算法方面，我们给出一个多项式时间算法，用于通过加权最小-最后排序来最小化最大加权入度。我们还提供一个用于最小化一般可分离离散凸目标的exact指数时间算法，以及针对非无环情况的多项式时间算法。最后，对于最大化入度与出度之积的和，我们证明了在最大度为4的图上为NP-hard，给出最大度为3的图的算法，并提供一个3-近似算法。我们的结果描绘了凸积分优化在入度(基础-)多面体上的算法边界，并突出了理论后果和实际意义，尤其是对于调度和无死锁路由。