哈珀顶点等周定理中的唯一性

对于集合 $A\subseteq Q_{n}=\left\{ 0,1\right\} ^{n}$，其 $t$-邻域定义为 $N^{t}\left(A\right)=\left\{ x\,:\,d\left(x,A\right)\leq t\right\}$，其中 $d$ 表示 $Q_{n}$ 上通常的图距离。哈珀顶点等周定理指出，在给定大小的子集 $A\subseteq Q_{n}$ 中，当 $A$ 取为单纯形序的初始段时，$t$-邻域的大小被极小化。Aubrun与Szarek提出了如下问题：若 $A\subseteq Q_{n}$ 是给定大小的子集，且对所有 $t>0$ 其 $N^{t}\left(A\right)$ 与 $N^{t}\left(A^{c}\right)$ 的大小均为极小，是否可推出 $A$ 同构于单纯形序的初始段？我们的目的是给出一个反例。令人惊讶的是，不存在作为汉明球的反例，即介于两个连续精确汉明球之间的集合，亦即满足对某个 $x\in Q_{n}$ 有 $B\left(x,r\right)\subseteq A\subseteq B\left(x,r+1\right)$ 的集合 $A$。我们进一步对 $Q_{n}$ 中所有满足给定大小子集中对所有 $t>0$ 其 $N^{t}\left(A\right)$ 与 $N^{t}\left(A^{c}\right)$ 大小均极小的集合 $A\subseteq Q_{n}$ 进行了分类。我们还证明了，或许令人惊讶地，若 $A\subseteq Q_{n}$ 的 $N\left(A\right)$ 与 $N\left(A^{c}\right)$ 大小在给定大小的 $Q_{n}$ 子集中极小，则对所有 $t>0$ 其 $N^{t}\left(A\right)$ 与 $N^{t}\left(A^{c}\right)$ 大小在给定大小的 $Q_{n}$ 子集中也极小。因此，当我们仅要求 $N\left(A\right)$ 与 $N\left(A^{c}\right)$ 在给定大小的子集 $A\subseteq Q_{n}$ 中具有极小时，同样的分类也成立。