Hamming 空间中扩展球的相交族

集合 $X$ 的子集族 $\mathcal{F}$ 若对任意 $A_i, \; A_j \in \mathcal{F}$ 满足 $\vert A_i \cap A_j \vert \geq t$，则称为 $t$-相交族。我们研究 Hamming 几何中的相交族。给定 $X=\mathbb{F}_q^3$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的向量空间，考虑一个族，其中每个 $A_i$ 是一个扩展球，即 $A_i$ 是所有以某向量的标量倍数为中心的球的并集。文中讨论了扩展球的几何行为。作为主要结果，我们研究了一种向量的“大”排列，其扩展球具有“高度相交”的特性。考虑以下覆盖问题：$\mathbb{F}_q^3$ 的子集 $\mathcal{H}$ 若以其元素为中心的所有扩展球的并集为整个空间，则称为短覆盖。作为本工作的应用，针对某些 $q$ 的实例改进了短覆盖的最小基数。