遗传族的交叉相交非空均匀子族

集合 $A$ 与集合 $B$ 称为 $t$-相交，若 $A$ 与 $B$ 至少有 $t$ 个公共元素。一组集合称为一个族。两个族 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 称为交叉-$t$-相交，若 $\mathcal{A}$ 中每个集合与 $\mathcal{B}$ 中每个集合均 $t$-相交。族 $\mathcal{H}$ 称为遗传的，若对 $\mathcal{H}$ 中每个集合 $A$，$A$ 的所有子集均在 $\mathcal{H}$ 中。$\mathcal{H}$ 的第 $r$ 层，记为 $\mathcal{H}^{(r)}$，是 $\mathcal{H}$ 中 $r$ 元集合组成的族。$\mathcal{H}$ 中集合 $B$ 称为 $\mathcal{H}$ 的基，若对 $\mathcal{H}$ 中每个集合 $A$，$B$ 都不是 $A$ 的真子集。令 $\mu(\mathcal{H})$ 表示 $\mathcal{H}$ 的最小基的大小。我们证明：对任意整数 $t$、$r$ 和 $s$ 满足 $1 \leq t \leq r \leq s$，存在整数 $c(r,s,t)$ 使得下述结论对任一满足 $\mu(\mathcal{H}) \geq c(r,s,t)$ 的遗传族 $\mathcal{H}$ 成立。若 $\mathcal{A}$ 是 $\mathcal{H}^{(r)}$ 的非空子族，$\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{H}^{(s)}$ 的非空子族，$\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 交叉-$t$-相交，且 $|\mathcal{A}| + |\mathcal{B}|$ 在给定条件下最大，则对 $\mathcal{H}$ 中某个满足 $t \leq |I| \leq r$ 的集合 $I$，要么 $\mathcal{A} = \{A \in \mathcal{H}^{(r)} \colon I \subseteq A\}$ 且 $\mathcal{B} = \{B \in \mathcal{H}^{(s)} \colon |B \cap I| \geq t\}$，要么 $r = s$、$t < |I|$、$\mathcal{A} = \{A \in \mathcal{H}^{(r)} \colon |A \cap I| \geq t\}$ 且 $\mathcal{B} = \{B \in \mathcal{H}^{(s)} \colon I \subseteq B\}$。作者在 $t=1$ 时猜想了此结论，且其推广了 $\mathcal{H}$ 为幂集时的著名结果。