遗传族中的交叉相交子族

若对于任意 $i$ 和 $j$（$i \neq j$，$i, j \in \{1, 2, ..., k\}$），$\mathcal{A}_i$ 中的任意集合与 $\mathcal{A}_j$ 中的任意集合都相交，则称集合族 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, ..., \mathcal{A}_k$ 为交叉相交的。对于有限集 $X$，令 $2^X$ 表示 $X$ 的幂集（$X$ 的所有子集构成的族）。若 $\mathcal{H}$ 中任意集合的所有子集都属于 $\mathcal{H}$，则称族 $\mathcal{H}$ 为遗传的；因此 $\mathcal{H}$ 是遗传的当且仅当它是若干幂集的并。我们猜想，对于 $2^X$ 的任意非空遗传子族 $\mathcal{H} \neq \{\emptyset\}$ 和任意 $k \geq |X|+1$，当 $\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2 = ... = \mathcal{A}_k = \mathcal{S}$（其中 $\mathcal{S}$ 是 $\mathcal{H}$ 的某个最大星形子族，即 $\mathcal{H}$ 中所有集合均包含一个公共元素的子族）时，$\mathcal{H}$ 的 $k$ 个交叉相交子族 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, ..., \mathcal{A}_k$（不必互异或非空）的规模之和与乘积均达到最大值。我们证明了当 $\mathcal{H}$ 关于 $X$ 的某个元素 $x$ 压缩时该猜想成立，并为此建立了通常的压缩操作的新性质。对于乘积情形，我们实际上猜想对于任意遗传族 $\mathcal{H}$ 和任意 $k \geq 2$，配置 $\mathcal{A}_1 = \mathcal{A}_2 = ... = \mathcal{A}_k = \mathcal{S}$ 都是最优的，并且我们也证明了一个特例。